Variables aléatoires discrètes finies - ST2S/STD2A

Soit une urne contenant \(6\) boules rouges et \(2\) boules bleues. On effectue \(5\) tirages successifs avec remise dans cette urne, quelle est la probabilité de tirer exactement \(3\) boules rouges ?
(Donner le résultat sous la forme d'une fraction ou d'un produit de fractions)

Au cours d'une étude sur un centre téléphonique, on a remarqué que les opérateurs tombaient avec une probabilité \(p = 0,9\) sur des personnes souhaitant être enregistrées dans leur base de données. On souhaite déterminer la probabilité de tomber au cours des 3 prochains appels sur exactement une personne souhaitant être enregistrée. On suppose que les appels sont indépendants les uns des autres. On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,9\).Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi. On notera \(S\) le succès, c'est-à-dire tomber sur une personne acceptant d'être enregistrée, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire tomber sur une personne refusant d'être enregistrée d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).

En déduire la probabilité de tomber au cours des 3 prochains appels sur exactement une personne souhaitant être enregistrée.

On s’intéresse à la population masculine du Botswana. Nous savons qu'en 2010 il y avait 1 011 853 hommes et 995 092 femmes. On sélectionne au hasard 3 personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante. A chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit un homme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas un homme.

1. Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est un homme »

On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

2.

On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\).

Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.

On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

3. Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois ou un homme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

4. En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 7 \) et \( p = \dfrac{3}{4} \).

Calculer \( P(X = 5) \)
On donnera la réponse arrondie à \( 10^{-4} \) près.
On donnera la réponse directement, sans préciser à quoi elle correspond.

Une association cherche à faire des statistiques sur ses membres. Les gérants ont remarqué qu'en moyenne, parmi les 50 membres qui composent l'association, 2 d'entre eux cotisaient plus de 48 euros par trimestre. Pour mieux gérer l'expansion de l'association, ils cherchent à calculer à terme les fonds qu'ils peuvent espérer obtenir avec 55 membres. Ils décident de modéliser la situation par une loi binomiale et souhaitent calculer la probabilité que 26 de leurs membres cotisent plus de 48 euros par trimestre.

Que vaut le paramètre \(n\) de la loi binomiale ainsi modélisée ?

De même, que vaut son paramètre \(p\) ?